Dokaz pravilnosti postopka določitve napetosti z uporabo Mohrovih krogov

Enačbo premice z naklonskim kotom α skozi pol P(σxx, σxy) zapišemo v vektorski obliki. V programu jo značimo z epremice.
et = oznacuje enotski vektor v smeri premice.

In[71]:=

en = {Cos[α], Sin[α]} ; et = {-Sin[α], Cos[α]} ; epremice = {x, y} == {σxx, σxy} + λ et

Out[73]=

{x, y}  {σxx - λ Sin[α], σxy + λ Cos[α]}

Enačbo Mohrove krožnice oznacimo z ekroznice.

In[74]:=

xc = (σxx + σyy)/2 ; R2 = (σxx - σyy)^2/4 + σxy^2 ; ekroznice = (x - xc)^2 + y^2 == R2

Out[76]=

y^2 + (x + 1/2 (-σxx - σyy))^2σxy^2 + 1/4 (σxx - σyy)^2

Presečišče Mohrove krožnice in premice označimo s točko T(x,y).

In[77]:=

Solve[{epremice, ekroznice}, {x, y, λ}] // FullSimplify

Out[77]=

{{λ0, yσxy, xσxx}, {λ -2 σxy Cos[^ ... 62754;1/2 (σxx + σyy + (σxx - σyy) Cos[2 α] + 2 σxy Sin[2 α])}}

Na predavanjih smo izpeljali enačbi σ_ξξ = 1/2(σ_xx + σ_yy) +  1/2(σ_xx - σ_yy) cos(2α) + σ_xysin(2α)  in σ_ξη = - 1/2(σ_xx - σ_yy) sin(2α) + σ_xycos(2α).

Opazimo, da je druga rešitev x = σ_ξξ. Če upoštevamo zvezo sin(α) cos(α) = 1/2sin(2α), vidimo, da je tudi y = -σ_ξη. Z zrcaljenem presečišča T preko x-osi
postane y=σ_ξη. S tem je grafični postopek utemeljen.

In[78]:=

Clear[x, y, en, et, epremice, ekroznice, xc, R2] ;

Created by Mathematica  (November 7, 2003)