Naloga 2

Podatki

Napetosti so podane v pascalih [Pa].   

In[10]:=

σij = {{8, 5, -3}, {5, 2, 2}, {-3, 2, -4}} ; eo = 1/Sqrt[3] {1, 1, 1} ; σij // MatrixForm // Print["[σij] = ", #] & ;

[σij] =  ( 8 5 -3 ) 5 2 2 -3 2 -4

a) Napetostni vektor v ravnini z normalo e_ξ

In[13]:=

eξ = 1/2 {1, 1, 2^(1/2)} ; σξ = σij . eξ //N

Out[14]=

RowBox[{{, RowBox[{4.37868, ,, 4.91421, ,, RowBox[{-, 3.32843}]}], }}]

b) Komponente tenzorja napetosti σαβ v desnosučnem koordinatnem sistemu (ξ,η,ζ)

Koordinatni sistem (ξ,η,ζ) tvorijo pravokotni enotski vektorji  e_ξ, e_η in e_ζ, kjer je e_η = -2^(1/2)/2 e_x+2^(1/2)/2e_y+ e_ηz  e_ζ, e_ζ=e_ξ×e_η.
Ker sta vektorja e_ξ in e_η = -2^(1/2)/2 e_x+2^(1/2)/2e_y pravokotna, je e_ηz=0.

In[15]:=

eη = {-2^(1/2)/2, 2^(1/2)/2, 0} ; eζ = Cross[eξ, eη] ; T = Transpose[{e ... . T ; σαβ // MatrixForm // N// Print["[σαβ]=", #] & ;

[T]= ( 0.5` -0.7071067811865476` -0.5` > ... -0.5` 0.7071067811865476` 0.` 0.7071067811865476`

[σαβ]= ( 2.292893218813452` 0.3786796564403576` -7.` ... -7.` 4.621320343559642` 3.707106781186547`

c) Velikosti in smeri glavnih normalnih napetosti

Glavne normalne napetosti so ničle karakteristicnega polinoma.

In[21]:=

p = CharacteristicPolynomial[σij, λ] s = Solve[p == 0, λ] //N

Out[21]=

-74 + 62 λ + 6 λ^2 - λ^3

Out[22]=

RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{{, RowBox[{λ, , RowBox[{RowBox[{11.0177, }], - ... ;, , RowBox[{RowBox[{-, 6.1159}], -, RowBox[{2.66454*10^-15, , }]}]}], }}]}], }}]

Boljša je uporaba ukaza Eigensystem. Ker Mathematica lastnih vektorjev ne normira, jih bomo zato normirali ročno.

In[23]:=

{{σ11, σ33, σ22}, {v1, v3, v2}} = Eigensystem[σij] // N e1 = -v1/Norm[v1] ... 22 33 {e1, e2, e3} // Print[{e , e , e }=, #] & ; 1 2 3

Out[23]=

RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{{, RowBox[{11.0177, ,, RowBox[{-, 6.1159}], ,, 1.0982}], }}], ,, Ro ... ,, 1.}], }}], ,, RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{-, 0.676686}], ,, 1.53407, ,, 1.}], }}]}], }}]}], }}]

RowBox[{{σ , σ , σ }=, , RowBox[{{, RowBox[{11.0177, ,, 1.0982, ,, RowBox[{-, 6.1159}]}], }}]}] 11 22 33

RowBox[{{e , e , e }=, , RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{{, RowBox[{0.879367, ,, 0.462272, ... [{RowBox[{-, 0.326451}], ,, 0.410888, ,, RowBox[{-, 0.851235}]}], }}]}], }}]}] 1 2 3

d) Velikosti in smeri ekstremnih strižnih napetosti in pripadajoče normalne napetosti

In[27]:=

τI = 1/2 (σ22 - σ33) ; τII = 1/2 (σ33 - σ11) ; τIII = 1/2 ( ... III I II III

RowBox[{{τ , τ , τ }=, , RowBox[{{, RowBox[{3.60705, ,, RowBox[{-, 8.5668}], ,, 4.95975}], }}]}] I II III

RowBox[{{e , e , e }=, , RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{{, RowBox[{0.0142609, ,, RowBox ... .866902, ,, RowBox[{-, 0.228767}], ,, RowBox[{-, 0.442884}]}], }}]}], }}]}] I II III

RowBox[{{σ , σ , σ }=, , RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{-, 2.50885}], ,, 2.4509, ,, 6.05795}], }}]}] I II III

e) Hidrostatični in deviatorični del tenzorja napetosti

In[33]:=

σH = Tr[σij]/3 ; σijH = DiagonalMatrix[{σH, σH, σH}] ; sij = ... N //Print[[σij ]=, #] & ; sij // MatrixForm // N //Print["[sij]=", #] & ;

H [σij ]= ( 2.` 0.` 0.` ) 0.` 2.` 0.` 0.` 0.` 2.`

[sij]= ( 6.` 5.` -3.` ) 5.` 0.` 2.` -3.` 2.` -6.`

e) Normalna in strižna napetost v oktaedrski ravnini

In[38]:=

eo = 3^(1/2)/3 (e1 + e2 + e3) ; σo = σij . eo ; σoo = σo . eo τo     = (σo . σo - σoo^2)^(1/2)

Out[40]=

2.

Out[41]=

7.02377

In[42]:=

Clear[σij, σαβ, T, eξ, eη, eζ, p, s, σ11, σ22, &# ... σII, σIII, eI, eII, eIII, σijH, σH, sij, σo, σoo, τo, g1, g2] ;

Created by Mathematica  (November 7, 2003)