Naloga 3

Opomba: Napetosti so v pascalih [Pa].

Podatki

In[43]:=

σij = {{5, 0, 0}, {0, -6, -12}, {0, -12, 1}} ; σij // MatrixForm // Print["[σij](P)=", #] & ; en = {enx, eny, enz} ;

[σij](P)= ( 5 0 0 ) 0 -6 -12 0 -12 1

Rešitev

Napetosti vektor v ravnini z normalo  e_n,   normalna in strižna napetost v tej ravnini

In[46]:=

σn = σij . en ; σnn = σn . en ; τn = (σn . σn - σnn^2 )^(1/2)// FullSimplify

Out[48]=

(25 enx^2 + (-12 eny + enz)^2 + 36 (eny + 2 enz)^2 - (5 enx^2 - 6 eny^2 - 24 eny enz + enz^2)^2)^(1/2)

Nalogo bomo rešili direktno, po metodi Lagrangevih množiteljev, pri čemer bomo upoštevali, da bo maksimum strižnih napetosti dosežen, ko bo dosežen maksimum kvadratov teh napetosti.

In[49]:=

eqs = en . en - 1 ; f   = τn^2 + λ eqs s = Solve[{D[f, enx] ᡫ ... D[f, enz] 0, D[f, λ] 0}, {enx, eny, enz, λ}] // N τn /. s

Out[50]=

25 enx^2 + (-12 eny + enz)^2 + 36 (eny + 2 enz)^2 - (5 enx^2 - 6 eny^2 - 24 eny enz + enz^2)^2 + (-1 + enx^2 + eny^2 + enz^2) λ

Out[51]=

RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{λ, , RowBox[{-, 150.}]}], ,, RowBox ... nx, , 0.}], ,, RowBox[{eny, , 0.8}], ,, RowBox[{enz, , 0.6}]}], }}]}], }}]

Out[52]=

RowBox[{{, RowBox[{12.5, ,, 12.5, ,, 12.5, ,, 12.5, ,, 10., ,, 10., ,, 10., ,, 10., ,, 0., ,, ... , }], +, RowBox[{2.06477*10^-7, , }]}], ,, 1.68587*10^-7, ,, 1.68587*10^-7}], }}]

Vidimo, da je maksimum dosežen v prvih  4 primerih. Če rešujemo nalogo peš, potem najprej izračunamo glavne normalne napetosti in nato (glej vaje) še ekstremne strižne napetosti.

In[53]:=

Clear[σij, en, σn, σnn, τn2, eqs, λ, enx, eny, enz, f, s] ;

Created by Mathematica  (November 7, 2003)